frosch03.de/posts/2013-10-16-MatheBasics
Mathematische Notizen
Das hier sind meine Notitzen, um mich den gennannten Themen in der Mathematik zu nähern. Ich habe es für doofe geschrieben, weil ich das sonst nicht behalte. Wem das Niveau zu niedrig ist: Sorry, mehr geht nicht.
Generell: Have fun :-)
Topologischer Raum
- Eine Topologie ist ein System von Mengen.
- Diese bestehen aus Teilmengen.
- Die Teilmengen nennt man offene Menge.
- Die Teilmengen gehören zu einer Grundmenge.
Ich stell mir das wie die Karten der Erde vor. Die Karten sind die Teilmengen. Das System ist die Erde und die Grundmenge ist besteht aus allen Karten (sowas wie der Atlas).
Man sagt:
- Punkte sind die Elemente
- Raum ist die Menge
Das kommt aus der "echten" Welt. Heute ist klar, dass die "echte" Welt auch komplizierter ist. Das Stichwort ist hier die Relativitätstheorie.
Zusätzlich müssen noch diese Regeln gelten:
- Die "leere Menge" und die Grundmenge sind selber offene Mengen
- Der Durchschnitt von offenen Mengen (nicht unendlich vieler) ist auch eine offene Menge
- Die Vereinigung von offenen Mengen ist auch wieder eine offene Menge
Man sagt, dass eine Menge \(X\) mit einer Topologie \(T\) (auf \(X\)) heißt: topologischer Raum \((X, T)\)
Außerdem sagt man:
- \(X\) ist die "strukturtragende Menge"
- \(T\) ist das "strukturdefinierende System" der Teilmengen
Axiom
Ein Axiom ist eine schlaues Wort für Grundsatz. Grundsatz in einem System. In dem System ist der Grundsatz nicht begründet. Ich vestehe dass so: Man legt beim Telefonieren nicht einfach auf. Das ist unhöflich. Also: In einem höflichen "System" gibt es das Nichtauflegen-Axiom. Einfach auflagen ist unhöflich. Begründet ist das nicht.
Abzählbarkeitsaxiom
Für die Topologischen Räume gibt es 2 Abzählbarkeitsaxiome.
- Jeder Punkt hat eine Umgebungsbasis die abzählbar ist
- Jeder Raum hat eine Basis der Topologien die abzählbar ist
Das 1. heißt für mich, dass z.B. auf einem Schachbrett ein Feld nur eine bestimmte Anzahl von Nachbarfeldern hat. (Maximal 8)
Das 2. heißt für mich, dass z.B. ein Atlas eine abzählbare Anzahl von einzelnen Karten hat.
Ein Raum der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt heißt erstabzählbar. Und, wer hätte das gedacht, ein Raum der das 2. erfüllt, heißt zweitabzählbar. :)